3.根据校验元与信息元之间的关系分类 根据纠正错误的类型不同，可以 将纠错码分为纠随机错误的码、纠突 发错误的码、纠同步错误码以及既能 纠随机错误又能纠突发错误的码。 4.根据每个码元的取值来分类 按照每个码元取值的不同，可以 将分为二进制码和q进制码（q = pm，p 为素数，m为正整数）。
定义5 一个（n, k）码的码率（编码效率， coding efficiency）定义为比率（k/n,），它 表示码字所含信息符号的分数（比例）， 是衡量编码有效性的基本参数。编码效率 与抗干扰能力这两个参数是相互矛盾的。 码率总是小于1。码率越小，冗余度就 越大，即在一个码字中添加给每个信息符 号的冗余符号越多。一个码有越多的冗余 度，就有检测和纠正更多错误码符号的能 力，但也降低了传输信息的实际速率。
ຫໍສະໝຸດ Baidu对于二进制系数，上两式中 的加、减运算均为模2加运算，因 此加运算和减运算是等效的。对于 长为n的码字，信道的错误图样E 也称为干扰矢量，共有2n种，实用 中只需讨论那些可以检测或可能纠 正的部分。
定义9 在错误图样中，若“1”集中于某个长 度b内，则称该种错误为长度为b的突发错 误，其中b称为突发错误长度，该图样称为 突发错误图样。 0011110 0 典型的突发错误图样为： 中间含有b个连续的1，对于一些编码 （如循环码），突发错误图样也包括首位 相连的错误，其错误图样为： 1100 0011
例1.1 我们来看看冗余度是怎样同噪声做 “斗争”的。我们用来交流的语言通常有 很大的冗余度。考虑下面的句子： 星期一上午2点在2405教师开会。 我们看到，在这个句子中有几处错 误。但由于对这种语言的熟悉我们可以猜 到原来的句子应该是 星期一下午2点在2405教室开会。
目的：提高抗干扰能力，使差 错率最小 实质：增加冗余度，扩大信号 空间，增大信号间距离 意义：通过纠错编码方法，可 以用不可靠的信道实现可靠的 传输
1.1纠错编码的理论基础 1.2纠错编码的分类 1.3纠错编码的基本概念 1.4有噪信道编码定理 1.5译码规则和编码规则 1.6纠错编码的本质 1.7纠错编码方法的性能 1.8纠错编码系统的性能
香农第二定理是有噪信道编码定理， 作为一个存在性定理，指出可以用任意接 近信道容量的信息传输速率传送消息，且 出错的概率可以任意小，这就引发了人们 对纠错码的研究。纠错码理论的中心任务 就是要针对具有不同干扰特性的各种信道 设计出编码效率高、抗干扰性能好而编译 设备又较简单的纠错码。
定理（香农第二编码定理） 若信道是离散、 无记忆、平稳的，且信道容量为C，只要待 传送的信息率RC，就一定能找到一种信道 编码方法，使得码长N足够大时，平均差错 率任意接近于零。 香农第二编码定理实际上是一个存在定 理，它指出：在RC时，肯定存在一种好的 信道编码方法，能够编出一种好码，用这种 好码来传送消息可使逼近于零。但香农并没 有给出能够找到好码的具体方法。 香农的有噪声信道定理的意义在于，告 诉人们什么是通过努力可以做到的事情，什 么是不可能做到的事情。
香农第二定理指出，当信息 传输速率低于信道容量时，通 过某种编译码方法，就能使错 误概率为任意小。目前已有了 许多有效的编译码方法，并形 成了一门新的技术——纠错编 码技术。
编码有信源编码和信道编码。 纠错编码即信道编码。 信源编码的目的是压缩冗余度， 提高信息的传输速率。 信道编码的目的是提高信息传 输时的抗干扰能力以增加信息传输 的可靠性。
是否能找到一种信道编码方法能同 时保证差错率和信息传输的要求呢？ 1948年，香农从理论上得出结论： 对于有噪信道，只要通过足够复杂的编 码方法，就能使信息率达到信道的极限 通过能力——信道容量，同时使平均差 错率逼近零。这一结论称为香农第二编 码定理或有噪信道编码定理，是有关信 息传输的最基本结论。
例1.2 考虑有两个码字｛0100，1111｝的码C。 码字的汉明重量为w(0100)=1和w(1111)=4。 这两个码字间的汉明距离为3，因为它们在第1、 第3和第4位置上不同。 观察到w(0100-1111)= w(1011)=3=d(0100,1111) 。 一般而言，对于任意一种编码，其中各 码组之间的距离不一定都相等。
3.混合纠错(HEC)方式 HEC (Hybrid Error Control)方式是上述 两种方式的结合。发端发送的码既能检错、 又有一定的纠错能力。接收端译码时若发 现错误个数在码的纠错能力以内，则自动 进行纠错；若错误个数超过了码的纠错能 力，但能检测出来，则通过反馈信道告知 发方重发。这种方式在一定程度上避免了 FEC方式译码设备复杂和ARQ方式信息连贯 性差的缺点，因此得到了较为广泛的应用。
通信的目的是要把消息及时可靠地传送 给对方。 若要求快速，则必然使得每个数据码元 所占的时间缩短、波形变窄、大游中国股份有限公司能量减少，从 而在受到干扰后产生错误的可能性增加，传 送消息的可靠性减低。 若要求可靠，则使得传送消息的速率变 慢。 在数字通信系统中可靠与快速往往是一 对矛盾。 通信理论本身(包括纠错码)也正是在解决 这对矛盾中不断发展起来的。
5.根据码的结构特点来分类 根据码的结构特点的不同，可以 将纠错码分为循环码、非循环码、系 统码和完备码等。 6.根据对每个信息元保护能力是否相等 来分类 根据对每个信息元保护能力是否 相等来分可分为等保护纠错码与不等 保护（UEP）纠错码。
1.前向纠错(FEC)方式 FEC (Forward Error Control)方式是，发 端发送有纠错能力的码（纠错码），接收 端收到这些码后，通过纠错译码器自动地 纠正传输中的错误。 这种方式的优点是不需要反馈信道；能 进行一个用户对多个用户的同时通信（如 广播），特别适合于移动通信；译码实时 性较好，控制电路也比较简单。缺点是译 码设备较复杂；编码效率较低。
这种编码中每一码组的校验元仅与 本组的信息元有关，而与别组无关。分 组码用（n，k）表示，n表示码长，k表 示信息位。分组码的构成如图1-3所示。
2.根据校验元与信息元之间的关系的不 同，可以将纠错码分为为线性码 （linear code）与非线性码。 若校验元与信息元之间的关系是 线性关系（满足线性叠加原理），则 称为线性码；否则，称为非线性码。 由于非线性码的分析比较困难，实 现较为复杂，故今后我们仅讨论线性 码。
在设计差错控制系统时，选择何 种实现方式，应综合考虑各方面的因 素。主要有： （1）满足用户对误码率的要求； （2）有尽可能高的信息传输速率； （3）有尽可能简单的编译码算法且易 于实现； （4）可接受的成本。
1.根据对信息元的处理方法不同，可以 将纠错码分为分组码与卷积码。 （1）分组码是把信源输出的信息序列， 以k个码元划分为一段，通过编码器 把这段k个信息元按一定规则产生r个 校验（监督）元，输出码长为n=kr 的一个码组。
纠错编码，顾名思义，是当消息经 过有噪声信道传输或要恢复储存的数据 时用来纠正错误的。 用来传输消息的物理介质叫做信道 （如电话线、卫星连接、用于移动通信 的无线信道等）。 不同种类的信道易产生不同种类的 噪声，对传输的数据造成不同的损害。 纠错编码就是试图克服信道中噪声造成 的损害。
纠错编码的基本思想是在消息通过一个 有噪声信道传输前以多余符号的形式在消息 中增添冗余度，这种冗余度是在一定的规则 控制下添加的。编码后的消息在传输时可能 还会遭到信道中噪声的损害。在接收端，如 果错误数在该码的设计限度内，则原始消息 可以从受损的消息中恢复。 纠错编码就是靠增加“冗余”码元来克 服或减轻噪声影响的。这里的“冗余”是相 对于信息的表示而言，对提高传送可靠性来 说，“冗余”码元却提供了极宝贵的可靠性 信息。
有实用价值的码应该具备良好 的结构特性，这样可保证译码简单 易行。香农在证明有噪声信道编码 定理时提出随机编码方法，这不过 是一种为避免寻找好码而采取的权 宜之计，有理论意义而无实用价值。 真正实用的信道编码还须用适当的 数学工具来构造，使得构造出的码 具有很好的结构特性，以便译码。
定义4 一个分组码由具有固定长度的码字集合 构成。这些码字的固定长度称为分组长度 （block Length），通常记为n。因此一个分组 长度为n的码由一组有n个分量的码字的集合 构成。 定义在q个符号的字母集上的大小为M的 分组码是M个q元序列的集合，每个序列的长 度为n。对q=2的特殊情况，那些符号称为比 特，而码称为二元码。通常对某个整数k有 M=qk，我们称这样的码为（n, k）码。
2.重传反馈(ARQ)方式 ARQ (Automatic Repeat Request)方式是，发端发 出能够发现错误的码（检错码），收端译码器收到 后，判断在传输中有无错误产生，并通过反馈信道 把捡测结果告诉发端。发端把收端认为有错的消息 再次传送，直到收端认为正确接收为止。 缺点是必须有一条从收端至发端的反馈信道。 并要求信源产生信息的速率可以进行控制，收、发 两端必须互相配合，其控制电路比较复杂，传输信 息的连贯性和实时性也较差。该方式的优点是译码 设备简单，在多余度一定的情况下，码的检错能力 比纠错能力要高得多，因而整个系统能获得极低的 误码率。
例1.3 码C=｛00000，10100，11110， 11001｝是分组长度等于5的一个分组码。 该码可用来表示两个比特的二元数字， 如表1-1所示：
这里M=4，k=2且n=5。假设我们要用上述 编码方案传输由0和1构成的一个序列，如，要编 码的序列为1001010011…。第一步是把这个序列 分成两个比特一组（因为我们要每次编码两个比 特），那么我们做如下分割 10 01 01 00 11… 接下来把每个组用它们对应的码字代换： 11110 10100 10100 00000 11001… 因此对每两个比特未编码的消息，我们发送5 比特（编码后）。应该观察到对每2比特的信息， 我们发送3个额外比特（冗余度）。
可以把纠错编码（即差错 控制编码）看成是为提高通信 系统的性能而设计的信号变换， 其目的是提高通信的可靠性， 使传输的消息更好地抵抗各种 信道损伤的影响，如噪声、干 扰、以及衰落等。
1.2.1差错控制编码的分类 1.2.2差错控制系统分类 1.2.3纠错编码的分类
