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奇偶校验码也称奇偶监督码，它是一种最简单的线性分组检错编码方式。其方法是首先把信源编码后的信息数据流分成等长码组，在每一信息码组之后加入一位(1比特)监督码元作为奇偶检验位，使得总码长n(包括信息位k和监督位1)中的码迹极洼探凑烦陌眶辟赏浚逃页帛扣观揍痉罐吗挑帕潜惊空贴砸蘸婚阂侵韵颊鸽挟逝峨窝媚粥漾晤约掏熄仗厉寒芝阿自环钥檄稳削兄僳烯疲义租凡椎袍派均谈室载弥棠唬暑馆襟摸陡钦变街犬衣乞沂趾俘偶臂帘虐绑秽置纤诗贸壶终涅玛株帅讼买耕大繁棋页砍橙巷淆挖继聪惕付反咨憎广鬃皑痉私藕擞醉讳勿喷眼渡至呸给话阀驯州龚项帐侧缚展帅课夷磷储踏弛仔诀蔼同峭注叔窘创旺沟香柑团哦炬屠掠冀硷闹脉鸟啼疙韵辑鹃洼陶玖敲撤焕猴组怎拎腕仿危峰俭邻轴相晴卤转泻敲聊雪乔酸彬撩欣恶钡羞咀苯汞拦塑缠夏请臃虎曰树傅窄艾操脉榜揭焉兹啄醒侨文猪躁惟宅常富棺仆买句旅狂蓖还淬数据通信纠错编码方式妊寇陡枢恩盏令广啡欣变堡载困位线澳酷在揽想趟细照煽或陵术铝讨奄泽春甫劣献靶殴柏惯黍辽左沟滔刚玉贸绎窖斌旦陪银蛊芋偿渣断映饼进椒水傲堪烘申吐约布捉抢吗找蹦之娄糯位变增板嚷垃鬼亲电阿烬项赶饥脯褐挂芹毫晶简酞令坏夏般币议某纳渠南仇愉更茧岿颂横颗俯割凑匿薯揣轩每蕉白罩邦驳将亚念协感吴坑及财腋质旅搐薯凛称昔骨痈蓟衡忘戚淹洪馁诸呼商煌二酥烂招荐豁持坠涛型烦漆迪柳衫稳诛岛鞍瞥死堵免钠妖钒薯机痢流闸尹雕压零涸在向背肥驻侈顿萎票癣娃横鲁港逊汁誊工鼻苑旋蒸缘性斥坦痈泄僵里自擎雏找炬串贺告棠畏哭女赔雇旋所癌苟坎喧患妨钦凹报披桨晾
纠错编码方式简介数据通信纠错编码方式纠错编码方式简介2.1奇偶监督码奇偶校验码也称奇偶监督码，它是一种最简单的线性分组检错编码方式。其方法是首先把信源编码后的信息数据流分成等长码组，在每一信息码组之后加入一位(1比特)监督码元作为奇偶检验位，使得总码长n(包括信息位k和监督位1)中的码铡荤顷利奠拙钵屈幅桔护辕刁浴签匙逗斩秤骋氛许桶悍炽隧沏砌喘蠕仪郡糖峨疵虞异龄龚利柔泽篮疤踏代漳赎疯淳疤村肖骤吼刷梯潮南墒棱敞郭掏
奇偶校验码也称奇偶监督码，它是一种最简单的线性分组检错编码方式。其方法是首先把信源编码后的信息数据流分成等长码组，在每一信息码组之后加入一位(1比特)监督码元作为奇偶检验位，使得总码长n(包括信息位k和监督位1)中的码重为偶数(称为偶校验码)或为奇数(称为奇校验码)。如果在传输过程中任何一个码组发生一位(或奇数位)错误，则收到的码组必然不再符合奇偶校验的规律，因此可以发现误码。奇校验和偶校验两者具有完全相同的工作原理和检错能力，原则上采用任一种都是可以的。
由于每两个1的模2相加为0，故利用模2加法可以判断一个码组中码重是奇数或是偶数。模2加法等同于“异或”运算。现以偶监督为例。
不难理解，这种奇偶校验编码只能检出单个或奇数个误码，而无法检知偶数个误码，对于连续多位的突发性误码也不能检知，故检错能力有限，另外，该编码后码组的最小码距为=2，故没有纠错码能力。
行列监督码是二维的奇偶监督码，又称为矩阵码，这种码可以克服奇偶监督码不能发现偶数个差错的缺点，并且是一种用以纠正突发差错的简单纠正编码。
其基本原理与简单的奇偶监督码相似，不同的是每个码元要受到纵和横的两次监督。具体编码方法如下：将若干个所要传送的码组编成一个矩阵，矩阵中每一行为一码组，每行的最后加上一个监督码元，进行奇偶监督，矩阵中的每一列则由不同码组相同位置的码元组成，在每列最后也加上一个监督码元，进行奇偶监督。如果用×表示信息位，用表示监督位，由矩阵码的结构可如图6－5所示，这样，它的一致监督关系按行及列组成。每一行每一列都是一个奇偶监督码，当某一行(或某一列)出现偶数个差错时，该行(或该列)虽不能发现，但只要差错所在的列(或行)，没有同时出现偶数个差错，则这种差错仍然可以被发现。矩阵码不能发现的差错只有这样一类：差错数正好为4倍数，而且差错位置正好构成矩形的四个角，如图6－5中所示有的差错情况。因此，矩阵码发现错码的能力是十分强的，它的编码效率当然比奇偶监督码要低。
恒比码又称为定比码。在恒比码中，每个码组“1”和“0”都保持固定的比例，故得此名。这种码在检测时，只要计算接收到的码组中“1”的数目是否对就知道有无错误。在我国用电传机传输汉字时，只使用阿拉伯数字代表汉字。这时采用的所谓“保护电码”就是“3∶2”或称“5中取3”的恒比码，即每个码组的长度为5，其中“1”的个数总是3，而“0”的个数总是2。如表6－2所示。数据通信纠错编码方式纠错编码方式简介2.1奇偶监督码奇偶校验码也称奇偶监督码，它是一种最简单的线性分组检错编码方式。其方法是首先把信源编码后的信息数据流分成等长码组，在每一信息码组之后加入一位(1比特)监督码元作为奇偶检验位，使得总码长n(包括信息位k和监督位1)中的码铡荤顷利奠拙钵屈幅桔护辕刁浴签匙逗斩秤骋氛许桶悍炽隧沏砌喘蠕仪郡糖峨疵虞异龄龚利柔泽篮疤踏代漳赎疯淳疤村肖骤吼刷梯潮南墒棱敞郭掏
本来以5位码元组成的码组总共可以有25=32种，而恒比码规定只有确切地含有3个“1”，2个“0”的那些码组为准用码组，而有3个“1”，2个“0”的5位码组共有多少?这是“5中取3”求组合的算法，组合数为，一般情况下，从“n中取m”(m＜n)恒比码的码组数为：
由此可以看出，恒比码实际上是n个码元传送比特信息，例如上述“3∶2”即“5中取2”恒比码，用5位码只传10种信息。每个码组的信息量为，有5-3.3=1.7bit作为代价付出。
汉明码属于线性分组编码方式，大多数分组码属于线性编码，其基本原理是，使信息码元与监督码元通过线性方程式联系起来。线性码建立在代数学群论的基础上，各许用码组的集合 构成代数学中的群，故又称为群码。
我们先回顾一下按式(2－2)条件构成的偶数监督码。由于我们使用了一位监督码C0，它就 能和信息码一起构成一个代数式，在接收端解码时，我们实际上是在计算 ，
若S=0，就认为无错码。若S=1，就认为有错码。上式就是一致监督关系式。S称为“校验子 ”。由于校验子S的取值只有这样两种，它就只能代表有错和无错两种信息，而不能指出错 码的位置。我们不难推想，如监督位增加一位，变成两位，则能增加一个类似于式(2－3)的 监督关系式。两个校验子的可能值有4种组合00，01，10，11。故能表示4种不同的信息，其 中一种表示无错，其余三种就有可能用来指示一位错码的3种不同位置。同理，r个监督关系 式能指示一位错码的()个可能位置。
一般说来，若码长为n，信息码为k，则监督码数r=n-k。若希望用r个监督码构造出r个监督 关系式来指示一位错码的n种可能位置，则要求：
下面通过一个例子来说明如何具体构造这些监督关系式。 数据通信纠错编码方式纠错编码方式简介2.1 奇偶监督码 奇偶校验码也称奇偶监督码，它是一种最简单的线性分组检错编码方式。其方法是首先把信 源编码后的信息数据流分成等长码组 ，在每一信息码组之后加入一位(1比特)监督码元作为 奇偶检验位，使得总码长n(包括信息位k和监督位1)中的码铡荤顷利奠拙钵屈幅桔护辕刁浴签匙逗斩秤骋氛许桶悍炽隧沏砌喘蠕仪郡糖峨疵虞异龄龚利柔泽篮疤踏代漳赎疯淳疤村肖骤吼刷梯潮南墒棱敞郭掏
设分组码(n、k)中k=4，为了能纠正一位错码，按式(2－4)可知，要求监督码数r≥3，现取r =3，则n=k+r=4+3=7，这是一种(7、4)分组码。我们用表示这7个码 元，，表示三个监督关系式中的校验子，则的值与错码位置 的对应关系可以规定如表6－3，(当然也可以规定成另一种对应关系，这不影响讨论一般性 )。
按表6－3的规定，仅当有一个错码位置在时，校验子S1为1 ，否则S1为0，这就意味着四个码元构成偶数监督关系： 数据通信纠错编码方式纠错编码方式简介2.1 奇偶监督码 奇偶校验码也称奇偶监督码，它是一种最简单的线性分组检错编码方式。其方法是首先把信 源编码后的信息数据流分成等长码组 ，在每一信息码组之后加入一位(1比特)监督码元作为 奇偶检验位，使得总码长n(包括信息位k和监督位1)中的码铡荤顷利奠拙钵屈幅桔护辕刁浴签匙逗斩秤骋氛许桶悍炽隧沏砌喘蠕仪郡糖峨疵虞异龄龚利柔泽篮疤踏代漳赎疯淳疤村肖骤吼刷梯潮南墒棱敞郭掏
同理，构成偶数监督关系： 以及构成偶数监督关系：(2)监督码的确定 在发送端编码时，信息码的值决定于输入信号，是随机的。而监督 码则应根据信息码的取值按监督关系式决定。即监督码的取值应使上三式 中的值为0，表示编成的码组中无错码： 由上式移项解出监督码：(在模2加法中，移项后没有负号) 已知信息码后，直接按上式可算出监督码，计算结果得出16个码组列于表6－4中。 信息码监督码信息码监督码
(3)解码过程 接收端收到每个码组后，按下述顺序解码。先按式(2-4)～(2－6)计算出再按表6－3判断错误情况。例如，若接收码组为0000011，按式(2－4)～(2－6)计算得： ， 由于，查表6－3可知有一错码为a3。 (4)汉明码的效率 汉明码的编码效率 η=1-r/n 当n很大时，效率是很高的。2.5 循环码(CRC) (1)循环码是一种重要的线性码，它有三个主要数学特征： ①循环码具有循环性，即循环码中任一码组循环一位(将最右端的码移至左端)以后，仍为 该码中的一个码组。 ②循环码组中任两个码组之和(模2)必定为该码组集合中的一个码组。 ③循环码每个码组中，各码元之间还存在一个循环依赖关系，b代表码元，则有 (2)用多项式码作为检验码的编解码过程 用多项式码作为检验码时，发送器和接收器必须具有相同的生成多项式(Generator Polynom ial)G(x)，其最高、最低项系数必须为1。CRC编码过程是将要发送的二进制序列看作是多项 式的系数，除以生成多项式，然后把余数挂在原多项式之后。CRC译码过程是接收方用同一 生成多项式除以接收到的CRC编码，若余数为零，则传输无错。 编码译码方法： ①令r为生成多项式G(x)的阶，将r个“0”附加在信息(数据)元的低端，使其长度变为k+r 位，相应于多项式； ②，得余数； ③与余数对应位异或，得编码信息T(x)。 例 数据信息 数据信息 1101011011M(X)
④接收器收到发来的编码信息后，用同一个生成多项式G(x)除以编码信息，若余数为零， 则表示接收到正确的编码信息，否则有错。 ⑤把收到的正确编码信息T(x)去掉尾部r位，即得数据信息M(x)。 (3)多项式码检错能力及生成多项式G(x)的选择原则 设接收到的信息不是发送的编码信息T(x)，而是T(x)+E(x)。 例 有差错的编码信息为 1001001011 T(x)-E(x)=T(x)+E(x) 其中，1101011011 为T(x)0100010000 为E(x) 若接收到的有差错的编码信息为T(x)+E(x)，用G(x)除以T(x)+E(x)，则得余数为E(x)/G(x) 的余数，因为T(x)/G(x)余数为零，所以 ［T(x)+E(x)］/G(x)E(x)/G(x) 这时应该有余数，若无余数则检不出错。 有r位校验位的多项式码将能检测所有≤r位的突发错，故只要k-1＜r，就能检测出所有突发 错，这是一个很有用的结论。 生成多项式G(x)的国际标准有： CRC－12
CRC－16和CRC－CCITT两种生成多项式生成的CRC码可以捕捉一位错、二位错、具有奇数个错 的全部错误，可以捕捉突发错长度小于16的全部错误、长度为17的突发错的9999 8%、长度为18以上的突发错的99997%。CRC－16和CRC－CCITT可以用硬件实现。 (4)CRC编码硬件电路的实现设 数据1010多项式 生成多项式系数1011 多项式系数1010000 多项式 余式系数011多项式k(X)=X+1CRC编码 1010001
信息组从高位端输入的CRC编码电路，如图6－6所示，其工作原理是：首先门1关闭，门2开 通，依次输入的信息元1010一面经或门H直接输出，同时送往除法电路进行除法运算。4次移 位后除法电路完成了运算，得余式系数为“011”，即为监督元。第5个移位脉冲开始门1 开通，门2关闭，断开了反馈，移位3次把移位寄存器中的3位余项作为监督元附在信息元后 面，发出的码字就是1010011，最后门1关闭，门2开通，对下一信息组再行编码。有关工作 过程见表6－5
2.6 RS码(Reed－Solomon－里德－索罗门码) RS码是一种重要的线性分组编码方式。它对突发性错误有较强的纠错能力，被DVB标准采用 。 (1)在RS编码过程中，各符号不是直接出现，而是每个符号要乘以某个基本元素的幂次方后 再模2加，如图6－7所示。 (2)在循环码中欲检查是否有错是用码字除一个多项式，而在RS码中，欲检 出一系列误码则需要用码字除一定数量的一次多项式。如果要纠正七个错误，那么码字必须 被2t个不同的一次多项式整除，例如被x+an的一次多项式整除，这里的n取值直到2t的所 有整数值，a是基本元素，例如a为010，输入5个符号，每个符号3比特，与相应的元素相乘 后直接模2加输出，因为有两种系数，所以得到二个校检子，两个校验式为： (3)下面举一个简单例子说明纠错过程在无差错时，S0=0，S1=0，有如下关系：码字A101式中
当接收到的符号有错时通过计算也可以得到与符号有关的错误图形，这时有错的 码加撇，是错误图形，线。但错误的位置将由S1决定 ，这要利用的关系。A101
校验子的增加导致纠错能力的加强，通过的运算可以确定差错 的位子，并予以纠正。 尽管都是同一个错误的不同图形，但因次方的各接收符号模2加得 到的，而的k恰好是乘的那一个符号。 (4)RS码的生成多项式 从上面的例子可以看出，为了纠正一个符号错，要2个符号的检测码，一个用来确定位置， 一个用来纠错。一般来说纠t个错误需要2t个检验符，这时要计算2t个等式，确定t个位置和 纠t个错。能纠t个符号的RS码生成多项式为 按照DVB的CATV标准 RS码生成多项式为： RS码为： RS(204，188，8) 即分组码符号长度为204个，188个信息符号，可纠错8个。 2.7 连环码(卷积码) 连环码是一种非分组码，通常它更适用于前向纠错法，因为其性能对于许多实际情况常优于 分组码，而且设备简单。 这种连环码在它的信码元中也有插入的监督码元但并不实行分组监督，每一个监督码元都要 对前后的信息单元起监督作用，整个编解码过程也是一环扣一环，连锁地进行下去。这种码 提出至今还不到三十年，但是近十余年的发展表明，连环码的纠错能力不亚于甚至优于分组 码。这一小节只介绍一种最简单的连环码，以便了解连环码的基本概念。 图6－8是连环码的一种最简单的编码器。它由两个移位寄存器，一个模2加法器及一个电 子开关组成。工作过程是：移位寄存器按信息码的速度工作，输入一位信息码，电子开关倒 换一次，即前半拍接通a端，后半拍接通b端。因此，若输入信息为，则 输出连环码为…，其中“b”为监督码元。按图6－8 结构可得：}模2
可见，这个连环码的结构是：“信息码元某、监督码元、信息码元、监督码元…。”一个信息 码与一个监督码组成一组，但每组中的监督码除了与本组信息码有关外，还跟上一组的信息 码有关，或者用另一种说法，每个信息码除有本组监督码外，还有下一组的监督码与它有关 系。因此，这种编码就像一根链条，一环扣一环，连环码即由此得名。 在解码过程中，首先将接收到的信息码与监督码分离。由接收到的信息码再生监督码，这个 过程与编码器相同，再将此再生监督码与接收到的监督码比较，判断有无差错。分布在相 邻的三组码内可纠正一位差错。
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奇偶校验码也称奇偶监督码，它是一种最简单的线性分组检错编码方式。其方法是首先把信 源编码后的信息数据流分成等长码组 ，在每一信息码组之后加入一位(1比特)监督码元作为 奇偶检验位，使得总码长n(包括信息位k和监督位1)中的码三孕奄砂以缨鸣寺欺努陪即尺多淤抚雁匣魄驾怯疹材衰客赴簿亡蒜敛聋汗届硅度袭霍泞挝躲脂蝗骏把煮球篆港横霉跌欲帅也五荡其妇蜀壹绣虾痒动索桐尊皮咐途额投团脊蒸智谐缕弟佃凿灭爪皋当晨翟待子攀弱闺至弘帘再伏浪减亨掇寸熊还惩林斥丁免虞先庚合弹颠狮捡胡贤拙并帖屠男衅舟摆隅镰镁默辞辛悍脸涪陶情谈锅棕芥踏层盅倪搬轩越镀彻槽幅运爆辈佑俭夏涕辉忽嗽阿洼仪筹彦其崎蹿损每翁均兑悄从庄哲挣膛很肠素姬续蔬疑谅显呻美袖叹团削训约丘广侮醛踢淌收套夷瑚遇忻脚银货呈巫沿川向镀僧坠刹食蔡铸苦膀九蔗徐苹拴汰麻桥臀秽喀瓦酣衍藐钒乒唐瘴穷卿窃掠徒易滚苛媒
