摘要在无测量电路中，提出两位纠错量子电路的概念；构造出纠两位错的量子编码方案及量子纠错电路，此电路可以同时纠正量子信息中的一位错、两位错,突破了以往量子电路只能纠正一位错的局限；引入编码电路编码输入信息的辅助位,根据辅助位的不同判断输入信息的不同量子状态；在设计七量子位的纠错电路过程中，提出了模块化思想，以五量子位纠错电路为基础模块构建纠错电路，简化了多量子位纠错电路的设计过程。
基金项目：安徽省自然科学基金(090412038)和安徽省人才开发基金(2007Z028)资助
作者简介：吕洪君(1958-)，男，硕士，合肥工业大学电子科学与应用物理学院副教授，主要从事量子信息方面的研究。
量子计算机、量子密码学[1]和量子通信[2]是近年来量子信息科学的三个主要研究领域，量子信息论之所以优越于经典信息论最主要特点是量子的相干性[3~5]。然而在对量子比特的操作以及大游中国股份有限公司传输过程中，由于环境的影响，量子相干性将不可避免地随时间指数衰减，这就是困扰整个量子信息论的消相干问题，而这些引起量子错误的因素可统称为量子噪声。如果不及时纠正量子噪声引起的量子错误，将有可能导致全部量子信息的谬误。为了消除消相干引起的错误我们需要及时对量子信息进行纠正。
Steane利用与Shor不同的方法通过研究多重粒子纠缠态的性质提出了量子纠错码方案[6~7]，由他们提出的量子纠错编码思想，为解决量子操作中的误码等问题提供了有效的解决方法。近年来，各种不同的编码方案被提出进而得到完善和发展。Stenae、Calderbank和Shor提出的Calderbank-Shor-Stenae(CSS)[8]构造法；Calderbank等人基于经典编码理论，利用实正交群的两个特殊离散子群建立了量子纠错码的二元正交几何框架，独立地发现了一种实质上等价于量子纠错码的构造方法[9~10]；Grass和Beth明确了纠正删除错误的量子纠错码的物理实质和数学表示，提出量子BCH码的概念；此外，Rains等人考虑稳定子量子码以外的线性量子纠错码，并构造了许多不同类型的量子纠错码；Zanardi、Rasetti和Lidar等人提出无噪声量子码和无消相干子空间编码；Steane和Cohen改进了CSS构造法，确立了Steane构造法[11]。
在经典的纠错电路[12]中，纠错之前需要对信息进行测量以获得错误信息，而在量子电路中，根据量子力学基本原理，测量会产生量子态的坍缩，破坏原量子态的信息，为了避免测量引起的坍塌效应，本文所搭建的电路通过引入辅助位，不需测量就可纠正编码量子态中的错误。目前，在量子纠错电路中纠正一位错拥有比较成熟的编码及纠错方案，研究者大都认为出现一位错的概率比较大。实际上，当对量子信息进行多次操作或长距离传输时，由于量子噪声的存在，量子信息有一定概率出现两位错。为了纠正量子信息中的两位错，我们构造了能同时纠正一、两位错的纠错电路。本文还通过引进模块化设计量子纠错电路的思想，以五量子位量子编码纠错电路为模块搭建了七量子位量子编码及纠错电路，简化了多量子位纠错电路设计与优化的过程。
量子信息在操作过程中，由于量子噪声的影响，量子信息可能出现的错误一般分为3类：
当我们找到可以纠正位反出错的量子线路时，只需要在每条线路的两端加上Hadamard门即可纠正位相出错。具体过程如下：
通过(2.1)、(2.2)比较得出经Hadamard门作用：位相出错变为位反转错。
因此，我们只要设计出位反转出错的纠正逻辑电路，则位相出错通过Hadamard门变为位反转错，再通过纠正逻辑电路，最后再通过Hadamard门变换恢复到初始相位。
定理 :若量子纠错码可以纠正错误A和B，则可以纠正A和B的任意线性组合。
由上述定理可知纠错电路可以纠正位反转错和位相出错时,就可纠正位反转错和位相错误同时发生的情况。
为了增强量子信息的存储可靠性及纠错需要，我们用五位量子位编码一位量子信息。设初始输入的一位量子信息为：
=0+1，在引入初态均为0态的四位辅助位时，以输入信息量子位为控制位，四位辅助位作为目标位，执行控制NOT操作：
通过上述操作把量子态0+1中的信息存储在五量子位的纠缠态中。假设在量子信息的操作过程中，五量子位出现一位错、两位错和正确量子态的可能总量子态数共有N=++1=16种。如果用n位辅助位来区别这些状态，则≥16，得n≥4。所以至少需要4位辅助位来区别所有状态。用4位辅助位编码16种状态供选择的编码方式是多种多样的，通过分析和研究，本文选取的是如表3-1所示的编码方案（注：前面五位是量子信息位，括号中的为编码量子信息的辅助位）。
表3-1所示的是输入量子信息为0时，不同量子信息状态所对应的编码表，当量子信息为1时，编码状态与表3-1完全对称，完整的编码表如表4-1所示。另外，我们设计的表3-1有三个特点：当五位量子态出现1~2位错时，量子信息通过编码线路后，利用四位辅助位，可以完全区分五位量子态的16种不同状态；当五位量子态中最后一位为1时，辅助位中1的个数为奇数，当五位量子态中最后一位为0时，辅助位中1的个数为偶数；在两位错中，辅助位的状态与五位量子态的前四位完全一致。
图中辅助位初始都制备在0，其中辅助位的输出由B、C、D、E四位控制，辅助位的输出由A、C、D、E四位控制，辅助位的输出由A、B、D、E四位控制，辅助位的输出由A、B、D、E四位控制。例如当量子信息输入ABCDE为00011时，经过此编码电路使辅助位分别翻转2次、2次、2次、1次，最终辅助位由（0000）输出为（0001）。
当输入信息经过图3-1所示的编码电路后，根据编码方案的规律，我们把纠错电路分成两部分，第一部分（N）纠两位错,第二部分（M）纠一两位错，纠错中的量子态转化过程如表4-1所示。
初始输入经过编码后，在N电路部分， A、B、C、D四位分别由辅助位控制翻转，E位由共同控制翻转。由表4-1可以看出，当存在两位错时，经过N电路部分的控制操作就可得到正确的输出。若当输入量子信息中存在的是一位错时，经过N电路部分后得到是与正确信息完全相反的量子状态，需经M电路部分纠错后才能得到正确信息；在M电路部分，以辅助位中状态为1的位为控制位，对五位量子信息进行控制操作。其中部分是当辅助位四位全为1时，对五位量子位进行控制NOT操作，部分当辅助位为1时，对五位量子位进行控制NOT操作，部分当辅助位为1时，对五位量子位进行控制NOT操作，部分当辅助位为1时，对五位量子位进行控制NOT操作，部分当辅助位为1时，对五位量子位进行控制NOT操作。五位的量子信息通过此部分后，可得到正确的输出。
例如当初始输入为（0000），经过编码电路为（0010），在经过N电路部分时，A、B、C、D、E五位分别经过0次、0次、1次、0次、1次翻转输出（0010），得到正确的量子信息。当初始输入为（0000）经过编码电路为（1011），在经过N部分时，A、B、C、D、E五位分别经过1次、1次、0次、1次、3次翻转得到输出（1011），五位量子信息进入M电路部分时，只有电路对五位量子位做控制NOT操作，最后量子信息输出（1011），得到正确的量子信息。图4-2给出五量子位编码纠错的量子电路。
在量子纠错编码中，根据要求往往需要多位编码，随着位数的增多，编码纠错量子电路变得复杂起来，通过分析和研究，我们提出模块化编码纠错量子电路方案。在七量子位量子纠错电路构造过程中，首先对七量子位的前五位使用五量子位构建的编码及纠错电路对其进行编码和纠错；然后，以纠正过的五量子位中的任意一位为基准，再对剩下的两位进行编码及纠错。例如：有A、B、C、D、E、F、G七量子位，先对A、B、C、D、E进行五量子位的纠错，那么A、B、C、D、E通过纠错后，以其中任意一位为基准，再对F、G进行纠错。图5-1所示的七量子位的纠错电路就是在五量子位的编码及纠错量子电路上通过增加两位辅助位来实现的（注：图5-1左方框中为五量子位的编码及纠错量子电路）。
例如，当输入ABCDEFG为0000101时，FG两位信息为01，首先对A、B、C、D、E五量子位的纠错，经过五量子位的纠错电路（图5-1左方框中的电路）,A、B、C、D、E的输出为00000，辅助位为1111；以E为控制位，F、G位为目标位进行控制NOT操作，F位为0，所以辅助位为0保持不变；G位为1，辅助位被置成1，而后以辅助位为控制位G为目标位进行控制NOT操作，G位变为0，最后七位量子位输出为0000000，辅助位输出为111101。
如果要对九量子位信息进行纠错编码，把图5-1所示的七量子比特编码纠错电路作为模块，构造九量子位编码纠错电路，逐级套用，可得到任意n量子位模块化编码纠错电路。
本文提出的五量子位的编码方案及量子纠错电路完全实现了对一位、两位纠错的需要；在编码方案中引入辅助位，用4位辅助位来分辨16种不同的信息状态,实现了辅助位的最大化利用；纠错电路中使用的都是简单的Toffoli门，易于物理上的实现；在设计多量子位的纠错电路时，引入模块化思想，在构造七量子位纠错电路的过程中以五量子位纠错电路为基础模块，使纠错电路的构造方便简洁，简化设计过程，构建的电路结构简单且各部分的功能明确，这为多量子位纠错电路的设计与优化提供了新思路。
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